확률
From Biocourse
1. 확률의 역사적 배경
100만년전 인류가 탄생한 이래로 자연의 우연과 필연사이를 인간이 계속적으로 접하며 살아 왔으나
궁극적인 우연과 불확실에 대한 학문적인 접근은 이루어지지 않았었다. 최근 500 여년전인 16세기에 이르러야 구체적으로 확률계산에 대한 생각을 하게 되었다. 이 우연의 게임은 1494년의 파촐리(Pacioli, 1450-1520)가
지은 "summa de arithmetica" 라는 책에서 게임이 중단되었을 경우의 상금의 분배문제를 언급하고 있다.
또한, 우연의 사실을 법칙으로 수학화하려고 노력한 여러 사람들 중에 파스칼(Pascal, 1623-1662)은
친구의 부탁으로 주사위 문제와 분배의 문제를 1654년에 고려하고 숙고하였으며, 이 문제를 페르마(Fermat, 1601-1655)에게 전하고 이들 두 사람은 이 문제를 명쾌하게 해결하였다.
이 사건이 확률이 수학적 이론으로서 세워지는 것을 제기하게 된 결정적 계기로 보고 있다. 이들 두 사람의 연구는 당시에 확률에 대한 지대한 관심을 촉발했고, 이로 인해 확률론의 초기의 문제는 주로 우연의 게임의 결과에 모아졌으며, 확률에 대한 불충분한 정의로부터 야기되는 여러 가지 문제점이 있었으나 1700년을 지나면서 발전하기 시작했다.
1655년에 호이겐스(Huygens, 1629-1695)는 파스칼의 아이디어를 이용하여 확률에 관한 독자적인 논문을 처음 작성하게 된다. 그 후 베르누이(Bernoulii,1667-1748)에 의해 확률론만을 다룬 저서가 만들어지고,
드므와브르(DeMoivre, 1667-1754)와 오일러(Euler, 1707-1783), 라플라스(Laplace, 1749-1827), 가우스(Gauss, 1777-1855)등의 노력으로 확률론은 급속히 발전해 나아갔다.
그러나 아직까지도 확률의 정의가 역시 불충분한 관계로 20세기에 들어와 수학자들의 연합된 노력의 결과로 1930년대에 출판된 콜모고로프(Kolmogorov)의 확률론의 기초라는 책에서 엄밀한 공리론적 토대 위의 공리적 확률을 정의하기에 이른다.
문제: 가령 능력이 똑같은 두 도박꾼이 3점 승부(선 3승자가 승리)로 내기를 하는데
각각 32 피스톨씩의 돈을 걸었다.
그런데 승부 도중 그만 두고 돈을 나눈다면 다음과 같은 경우 각각 얼마씩 받고 그만 두는 것이 맞겠는가?
- 경우 1.
세 번 경기를 하여 A 2승, B 1승으로 끝났을 때, A는 48 피스톨, B는 16 피스톨을 받는 것이 마땅하다.
이유: A는 1번만 더 이기면 되고 B는 2번을 더 이겨야 된다. A가 이기면 64 전부 그리고 B는 0 피스톨을 받는다. 한편 A가 졌다고 하자 이때는 서로 비겼으므로 각각 본전인 32 피스톨씩을 받게 된다. 따라서 A는 이기나 지나 32 피스톨을 받게 된다. 그리고 다음 승부에 이기게 될 기회는 반반이므로 A에게 먼저 32 피스톨을 주고 나머지 32 피스톨은 서로 반으로 나누어 가지면 된다. 즉
A : 32 + 32/2 = 48, B : 0 + 32/2 = 16
- 경우 2.
2번 경기를 하여 A 2승 B 0승으로 끝났을 때, A는 56 피스톨, B는 8 피스톨을 받는 것이 마땅하다.
이유: 다음 경기에 A가 이기면 64 피스톨, B는 0 피스톨을 받게 된다. 그러나 지면 경우 1과 같아지므로 48 피스톨을 받는 것이 마땅하다. 따라서 A에게 먼저 48 피스톨을 주고 남은 돈 16 피스톨은 서로 반으로 나누어 갖는 것이 마땅하다. 즉
A : 48 + 16/2 = 56 B : 0 + 16/2 = 8
- 경우 3.
한 번 경기를 하여 A 1승 B 0승인 경우는 A는 44 피스톨, B는 20 피스톨을 받는 것이 마땅하다.
이유 : 다음 승부에서 A가 이기면 경우 2가 되어 56 피스톨, B는 8 피스톨을 받게 된다. 그러나 지면 동률이 되어 32 피스톨을 받게 된다. 따라서 A에게 32 피스톨, B에게 8 피스톨을 배당하고 나머지 24(=56-32) 피스톨은 서로 나누어 가지면 된다. 즉
A : 32 + 24/2 = 44 B : 8 + 24/2 = 20
2. 확률의 정의
(1) 고전적 확률(수학적 확률)
같은 조건하에서 여러 번 반복할 수 있는 어떤 시행에서 일어날
가능성이 있는 모든 결과를 원소로 하는 집합 S를 그 시행의 표본공간(sample space)이라고 한다.
이 때 어떤 사건이 일어날 가능성이 같은 정도로 기대되어(equally likely)질 때 이를 수치적 척도로서 고정하여 가정하는 것으로 라플라스(Laplace)는 다음과 같이 확률을 정의하였다.
| N개의 근원사건으로 구성된 표본공간에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 같은 정도일 때, m개의 근원사건으로 구성된 사건 A가 일어날 확률 P(A)는 P(A) = m/N 이다. |
그러나 이는 근원사건이 유한개인 경우만 적용가능하며 실제로 일어나는 문제에 이 개념을 도입하기가 어렵다.
(2) 통계적 확률(경험적 확률)
오랜 시간을 두고 여러 번 통계적 시행을 반복하면 한 사건 A의 상대도수는 어떤 값에 가까워 질 것이다. 즉, 오랜 관찰 끝에는 일정한 패턴을 찾아 낼 수 있는 것처럼 상대도수의 극한으로 확률을 정의할 수 있다. 그러나 이 극한도 증명할 방법은 없다는 단점을 가지고 있다.
(3) 공리적 확률
러시아 수학자 Kolmogorov는,
수학자들이 기하학에서 점과 선에 대한 개념을 탄생시키는 것과 같은 흡사한 과정으로 추상적 접근을 하게 되는데 이것이 다음과 같은 공리적 확률이다. 이는 오늘날의 확률공리로서 도입되어 확률이론을 정립하게 되었다. 이는 오랫동안 쌓아온 확률현상에 대한 경험적 인식을 이론적으로 뒷받침할 필요가 있었기 때문이다.
표본공간 S에서의 임의의 사건 A에 대하여
(1) 0≤ P(A) ≤1
(2) P(S)=1
(3) 서로 배반인 사건 A, B에 대하여
P(A ∪ B)=P(A) + P(B)
을 만족할 때, 이 P(A)를 사건 A의 확률이라고 한다.
3. 확률의 랜덤현상
통계적 사고(思考)의 출발은 어디일까? 혹은 '어떤 문제가 통계적인 문제인가'하는 질문에 답하기는 쉽지 않다. 그러나 통계문제는 통계적 관점에서 인식하는 모든 문제로 정의한다면 관심을 두고 있는 구체적 현상 속에서 불확실성을 발견하였거나 그 현상을 랜덤현상으로 가정하며 접근한다면 이는 모두 통계문제라고 할 수 있다. 여기서 랜덤현상이란 다음과 같은 속성을 만족하는 확률실험을 말하고 있다.
(1) 나타날 수 있는 가능한 모든 결과들을 예상할 수 있다.
(2) 나타난 결과를 미리 알 수 없는 상황이다.
(3) 예측할 수 있는 장기모형은 존재한다.
(4) 많은 시행 후에 나타나는 결과의 상대도수분포에 의해 표현될 수 있다.
이러한 랜덤현상의 인식과 표현 중에 주사위 던지기, 동전 던지기, 카드놀이 등의 단순게임을 반복하면서
나타나는 현상의 표현을 통하여 랜덤현상을 인식시키고 있다. 이 때에 우리가 알고 있어야 하는 개념의 첫째는 표본공간과 사건 이다. 표본공간은 랜덤현상의 특성 중 '모든 예상되는 가능한 결과들의 전체모임'을 나타내는 개념이다. 그리고 사건은 이 표본공간에서 관찰될 수 있는 임의의 부분집합을 말한다.
#참고# http://math.kongju.ac.kr/math/bag/1probag.html
문제 1.
1. 한 병원에서 주어진 주일에 20명의 신생아가 태어났는데 그중 11은 아들이었고 9는 딸이었다. 이 병원에서 이주간에 아들이 태어난 빈도 확률은 얼마인가?
==> p(남자) = 남자/전체 = 11/20 = 55%
2. 주사위를 100 번 던졌는데 그때 눈금과 회수의 관계는 다음과 같았다. (1,14), (2,18), (3,16), (4,15), (5,18), (6,19). 다음 빈도확률을 말해 보라.
가. 눈금 6이 나타날 확률 나. 짝수의 눈금이 나타날 확률
다. 3의 배수의 눈금이 나타날 확률 라. 소수의 눈금이 나타날 확률
==> 가 : p(6) = 19/100 = 19%
==> 나 : p(짝수) = p(2,4,6) = p(2) + p(4) + p(6) = ( 18 + 15 + 19 )/100 = 52/100 = 52%
==> 다 : p(3의 배수) = p(3,6) = p(3) + p(6) = (16+19)/100 = 35/100 = 35%
==> 라 : p(소수) = p(1,2,3,5) = p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = ( 14+ 18 + 16 + 18 )/100 = 66%
3. 사망률 통계에 의하면 12살 짜리 9,781,958 명중 65 세까지 산 사람은 6,800,531명이었다.
12살 사람이 65세까지 살 빈도확률을 구하라.
==> p(65세 생존|12살 생존) = 6800531/9781958 = 69.52116%
4. 다음 실험에서 각 표본공간을 써라
가. 처음 주사위를 던지고 두 번 째 동전을 던지는 실험
나. 주사위를 두 번 던지는 실험. 다. 두 번 동전을 던지는 실험
라. 동전을 3번 던지는 실험 마. n 번 동전을 던지는 실험
==> 가 : (주사위, 동전 )
(1,앞),(1,뒤),(2,앞),(2,뒤),(3,앞),(3,뒤),(4,앞),(4,뒤),(5,앞),(5,뒤),(6,앞),(6,뒤)
==> 나 : (주사위1,주사위2)
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
==> 다 : (동전1, 동전2)
(앞,앞),(앞,뒤),(뒤,앞),(뒤,뒤)
==> 라 : (동전1, 동전2, 동전3)
(앞,앞,앞),(앞,앞,뒤),(앞,뒤,앞),(앞,뒤,뒤),(뒤,앞,앞),(뒤,앞,뒤),(뒤,뒤,앞),(뒤,뒤,뒤)
==> 마 : (동전1, 동전2, ..., 동전n)
(앞,...,앞) .... (뒤,....뒤) = 2^n
5. 4번 가의 실험에서
가. 짝수와 동전의 앞면을 얻을 확률 나. 3의배수와 동전의 뒷면이 나올 확률
다. 앞면과 홀수가 나타날 확률 라. 앞면도 홀수도 안 나타날 확률
==> 가 : p(짝수, 동전 앞) = p(짝수)p(앞) = 1/2 * 1/2 = 1/4
==> 나 : p(3의 배수, 동전 뒷) =p(3의 배수)p(뒷) = 1/3 * 1/2 = 1/6
==> 다 : p(앞, 홀수) = p(홀수)p(앞) = 1/2 * 1/2 = 1/4
==> 라 : p(not앞, not홀수) = p(뒷,짝수) = p(뒷)p(짝수) = 1/2 * 1/2 = 1/4
6. 4번 나의 실험에서
가. 두 눈금의 합이 7이 될 확률 나. 두 눈금의 합이 10 이상이 될 확률
다. 두 눈금의 합이 6 이하가 될 확률 (6 이하는 6을 포함)
==> 가 : p(두 눈금의 합이 7) = p( (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) ) = 6/36 = 1/6
==> 나 : p(두 눈금의 합이 10 이상) =p((4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)) = 6/36 = 1/6
==> 다 : p(두 눈금의 합이 6 이하) =p((1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)) = 15/36 = 5/12
7. 두 개의 동전을 동시에 던졌을 때
가. 표본공간을 써라. 나. 둘 다 뒷면이 될 확률
다. 적어도 앞면이 한 번 나올 확률 라. 오직 하나만 앞면일 확률
==> 가 : { (앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞), (뒤,뒤) }
==> 나 : p(둘다 뒷면) = 1/4
==> 다 : p(적어도 앞면이 한번) = p((앞,앞), (앞,뒤), (뒤,앞)) = 3/4
==> 라 : p(오직 하나만 앞면) = p((앞,뒤), (뒤,앞)) = 2/4
8 48 장의 화투를 섞어 그중 하나를 뽑았을 때
가. 송학이 나올 확률 나. 20으로 계산하는 광이 나올 확률
다. 송학이나 매화 껍질이 나올 확률 다. 송학도 매화 껍질도 아닐 확률
==> 가 : p(송학이 나올 경우) = 1/48
==> 나 : p(광이 나올 경우 ) = 5/48
==> 다 : p(송학 or 매화 껍질 ) = 3/48 ??
==> 라 : p(not 송학 or not 매화 껍질 = 1 - p(송학 or 매화 껍질 ) = 1 - 3/48 = 45/48
9 딸이 날 확률이 1/2라 하자
가. 3 어린애가 있는 가정에서 아들만 3 있을 확률
나. 아들 하나 딸 둘일 확률 다. 딸, 딸, 아들일 확률
==> 가 : p(아들만 3명) = 1/8
==> 나 : p(아들하나,딸둘) = (아들,딸,딸),(딸,아들,딸),(딸,딸,아들) = 3/8
==> 다 : p(딸,딸,아들) = 3/8
10. ㅁx + 2 = 16에서 주사위를 던져 나온 숫자를 네모에 넣는다고 하면 그 방정식이 정수해를 갖기 위한 확률은 얼마냐?
==> {1,2} = 2/6 = 1/3
