분포

From Biocourse

표본분포

1 베르누이분포와 정규분포

(1) 베르누이시행

      어떤 실험의 결과를 오직 두 가지 중의 하나로 생각하는 시행

(a) 베르누이시행의 표본공간 : S = { s, f }

(b) 성공확률 p=P{s} , 실패 확률 q=P{ f }

(2) 베르누이 확률변수

    베르누이 시행 결과에 따라 또는 의 값을 대응시키는 확률변수

      표본공간 S = {s, f}에서 X(s)=1, X(f)=0인 확률변수

(3) 베르누이 분포
     베르누이 확률변수의 확률분포를 베르누이 분포

(a) 이원적 모집단의 분포를 나타냄
        P(X=1) = p (성공확률),     P(X=0) = 1 - p (실패확률)

(b) X ~ B(1,p)

(c) 성질

       1) E(X) = 0 * (1-p) + 1*p = p

       2) Var(X) = E(X^2) - {E(X)}^2 = p(1-p) = pq   

2 표본분포

(1) 용어정리(review)

(a) 모수(parameter) - 모집단의 특성을 결정하는 상수

(b) 통계량(statistic) -표본으로부터 계산 가능한 표본의 특성값

(c) 추정량(estimator) - 모수의 추정을 위한 통계량                  예) 평균 , 분산, 확률, ....

(d) 표본분포(sample distribution) - 통계량의 확률분포

(2) 표본분포의 예

     (a) {찬성, 반대, 찬성, 찬성, 반대} 와 같은 모집단에서 크기 3인 표본을 단순랜덤비

          복원추출로 뽑아 모비율 p=(0.6)를 추정하는 문제.   

    (c) 표본비율

        1) 표본결과에 따라 하나의 수 값을 대응시키는 확률변수

         2) 표본으로부터 계산한 표본의 특성이므로 통계량

        3) 가운데 두 열은 통계량 표본비율 의 확률분포 => (표본분포)

        4) 표본분포 추정량의 확률분포 는 추정의 정확도를 나타내는 중요한 도구 ( )

(3) 랜덤표본 또는 임의표본 (random sample)

    (a) (유한모집단) 단순랜덤 비복원추출로 뽑은 표본

    (b) (무한모집단) 서로 독립이며 같은 분포를 갖는 확률변수의 집합

    (c) 전구 생산 공정에서 n개를 랜덤하게 추출

       X1 : 첫 번째 전구의 수명

       X2 : 두 번째 전구의 수명

                         ....

                 Xn : n번째 전구의 수명

       관측 전의 { X1, X2, ..., Xn } : 랜덤표본

       관측된  { x1, x2, ..., xn} : 데이터

(4) 유한모집단의 랜덤표본은 표본분포를 유도하기 어려우므로 모집단의 크기가 클 때

         무한모집단에서의 랜덤표본으로 간주하여 표본분포를 구하여 근사분포로 사용한다.

3. 초기하 분포와 이항 분포

(1) 초기하 분포 (Hypergeometric distribution)

     두 가지 특성값만 가지는 유한 모집단의 모비율을 추정하기 위해 표본 비융르 사용할 때 포본 비율의
    확률분포, 즉, 표본 분포를 나타내기 위해 사용한다.

        모집단의 크기 : N , 속성 A의 크기 : D,     모비율 : D/A

        X : 크기 n인 랜던 표본에서 속성 A를 갖는 것의 개수

4. 이항 분포 ( Binomial Distiribution)

두가지 특성값만 가지는 무한 모집단에서 성공률 p를 가지는 베르누이 시행을 n번 시행할 때

성공횟수의 분포를 나타내기 위해 사용한다.

X1, X2, ..., Xn : 서로 독립이고 모수 p인 베르누이 확률변수

X = X1 + X2 + .... + Xn : n번 시행할 때 성공 횟수

- 기호 및 분포 함수

- 누적 분포 함수

- 성질 X ~ B(n,p) 일 때,

E(X) = np, Var (X) = np(1-p) = npq

- 초기하의 이항 근사

X ~ 초기하분포, N -> 무한대, D/N -> p

=> X ~ B(n,p)

(1) 표본 평균 ( 무한 모진단의 경우 )